Introduction aux Vecteurs

Qu’est-ce qu’un vecteur ?

Un vecteur est simplement une liste de nombres qui peut représenter :

• un déplacement dans l’espace
• des paramètres d’un modèle
• des caractéristiques d’un objet

Exemples

• En économie : prix, coût, rendement d’un produit
• En chimie : proportions des composants d’un alliage
• En physique : ((3, 2)) → déplacement de 3 pas vers la droite et 2 vers le haut.
• En science des données : une maison peut être représentée par un vecteur :$$(120,2,1,150000)$$→ 120 m², 2 chambres, 1 salle de bain, prix 150000 €.

👉 L’idée clé

Un vecteur est une collection de valeurs organisées qui décrit une position, un déplacement ou un ensemble de paramètres dans un espace. Les vecteurs sont donc des outils universels pour représenter et manipuler l’information.

Représentation

On peut le représenter de plusieurs façons :

• géométriquement : une flèche dans un plan ou un espace
• algébriquement : une liste ordonnée de nombres

$$v=\left[\begin{array}{c}{v}_1\\ v_2\\ \dots \\ v_n\end{array}\right]$$

Exemple : la loi normale et ses paramètres

En statistiques, la loi normale (ou gaussienne) est utilisée pour décrire des phénomènes naturels comme la taille des individus dans une population.

Il s'agit d'un modèle pour une courbe en forme de cloche, qui ressemble à ceci :

Sa formule est :

$$f(x)=\frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi }}{e}^{-\frac{(x-\mu {)}^2}{2{\sigma }^2}}$$

où :

• $\mu$ : moyenne (centre de la distribution)
• $\sigma$ : écart-type (largeur de la distribution)
• L’aire sous la courbe = 1 (100 % de la population)

Ces deux paramètres $(\mu ,\sigma )$ peuvent être regroupés dans un vecteur :

$$p=\left[\begin{array}{c}\mu \\ \sigma \end{array}\right]$$

👉 Ici, le vecteur $p$ ne décrit pas un déplacement physique mais un ensemble de paramètres statistiques qui définissent complètement une distribution.

Les vecteurs en machine learning

En apprentissage automatique, un vecteur sert à représenter :

• soit un ensemble de caractéristiques (exemple : âge, taille, poids d’un individu),
• soit un ensemble de paramètres d’un modèle (comme $\mu$ et $\sigma$ pour la gaussienne)

Chaque combinaison de paramètres correspond à un point dans un espace abstrait.
Modifier ces paramètres revient à se déplacer dans cet espace, et ce déplacement est décrit par un vecteur.

Exemple appliqué à la loi normale

Imaginons que nous partions de :

$$(\mu ,\sigma )=(1,75,0,1)$$

et que nous ajustions légèrement les paramètres :

$$({\mu }^{\prime },{\sigma }^{\prime })=(1,76,0,12)$$

Le déplacement correspond au vecteur :

$$\mathrm{\Delta }=({\mu }^{\prime }-\mu ,{\sigma }^{\prime }-\sigma )=(0,01,0,02)$$

👉 L’idée clé

Les vecteurs permettent donc de formaliser les ajustements que l’on fait pour améliorer un modèle.

Ajuster un modèle aux données

En pratique, on veut trouver les paramètres $(\mu ,\sigma )$ qui font que la courbe colle le mieux aux données observées.

• Si $\mu$ est trop grand ou trop petit → la courbe est décalée.
• Si $\sigma$ est trop grand → la courbe est trop aplatie.
• Si $\sigma$ est trop petit → la courbe est trop étroite.

Pour évaluer la qualité de l’ajustement, on compare les données réelles $(y_i)$ aux valeurs prédites $({\hat{y}}_i)$ :

$$\text{Erreur}=\sum _{i=1}^n(y_i-{\hat{y}}_i{)}^2$$

🎯 Objectif

Trouver le vecteur de paramètres $p=(\mu ,\sigma )$ qui minimise l’erreur.

Transition vers le calcul différentiel et l’algèbre linéaire

Maintenant que nous savons qu'un vecteur représente les paramètres d’un modèle et qu’ajuster ces paramètres, c’est se déplacer dans un espace, la prochaine question est :
👉 Comment savoir dans quelle direction déplacer notre vecteur de paramètres pour réduire l’erreur le plus vite possible ?
C’est ici que le calcul différentiel (le gradient) entre en jeu, et que l’algèbre linéaire devient indispensable pour manipuler efficacement ces espaces multidimensionnels.